Bayes' theorem
今夜何気なく平成教育委員会を見ていたら、下記のような数学の問題が出題された。
「たけしさんには、２人の子供が居ます。少なくとも１人が男の子であることを教えて貰った場合、もう１人の子供が女の子である確率は？」
というもの。
直感的に、１人の性別を教えて貰ったところで、もう１人の子供の性別を絞り込む情報は含まれていないので、「1/2」だろうと思ったら、「2/3」が正解だった。
……果たして本当か？
番組の解説は、これは「条件付き確率」の問題であり、（男、男）、（男、女）、（女、男）、（女、女）という兄弟姉妹が均等に存在するとして、「少なくとも１人が男の子である」ということが分かったことによって、（男、男）、（男、女）、（女、男）の3通りに絞り込まれ、女の子が含まれているケースは（男、女）、（女、男）の2通りなので、「2/3」というもの。
この解説を聞いたとき、強烈な違和感を覚えた。
違和感の元は、（男、男）の組み合わせが、（男、女）、（女、男）と対等に扱われているということ。
そして、「1人が男の子である」ことを教えて貰っただけで、「もう１人が女の子である確率」が「2/3」になるなんて、虫が良過ぎると言うこと。仮に「１人が女の子」であると教えて貰っていたら、「もう１人が男の子である確率」が「2/3」になるとでもいうのだろうか？
この問題を分かり易く理解するために、n数を増やし、一般化して考えてみる。
1000組の兄弟姉妹が居た場合、男女の組み合わせは、
・（男、男）：250組
・（男、女）：250組
・（女、男）：250組
・（女、女）：250組
である。この内、１人の性別を明らかにする場合の組み合わせは、
・（男、男）＆１人が男の子であることを教える：250組（←２人とも男の子なので、選択の余地なし）
・（男、女）＆１人が男の子であることを教える：125組
・（男、女）＆１人が女の子であることを教える：125組
・（女、男）＆１人が女の子であることを教える：125組
・（女、男）＆１人が男の子であることを教える：125組
・（女、女）＆１人が女の子であることを教える：250組（←２人とも女の子なので、選択の余地なし）
となる。ここで一番上の問題に戻ってみると、聞き手が把握している情報は、「１人が男の子である」ということだけなので、上記の内、
・（男、男）＆１人が男の子であることを教える：250組
・（男、女）＆１人が男の子であることを教える：125組
・（女、男）＆１人が男の子であることを教える：125組
の3通りのケース（合計500組）に絞られる。この内、もう１人が女の子である組み合わせは、
・（男、女）＆１人が男の子であることを教える：125組
・（女、男）＆１人が男の子であることを教える：125組
の250組なので、250/500=「1/2」となる。つまり番組の「2/3」の考え方は誤りで、「1/2」が正しいということになる。
この問題の肝は、「1人が男の子であること」を教えるか、「１人が女の子であること」を教えるか、自由に選択できるかどうかどうかにある。
上記の通り、（男、女）、（女、男）の家族が、教える性別を自由に選択できる場合は、正解は「1/2」となる。
しかしながら、何らかの制約により、（男、女）、（女、男）の家族に選択の余地がない場合は、「1/2」とはならない。例えば、聞き手が先に「少なくとも１人は男の子ですか？」と聞いたとして、「はい、男の子です」という回答が返ってきた場合の正解は「2/3」となる。
これは、自分から性別を教える場合は、結局のところ、ある１人の性別にしか触れておらず、もう１人の性別には何ら情報を与えていないことになるが、性別を聞かれて答える場合は、質問の内容と２人の性別を照らし合わせて回答することになるからである。
つまり、１人分の情報しか与えていない前者は「1/2」であり、２人分の情報を与えている後者は「1/2」を上回る確率となるのである。
この例を先程の1000組を用いて説明すると、
・（男、男）：250組
・（男、女）：250組
・（女、男）：250組
・（女、女）：250組
の内、
・（男、男）：250組
・（男、女）：250組
・（女、男）：250組
の合計750組が「少なくとも１人は男の子です」と答える。つまり、もう１人が女の子である組み合わせは500組あるから、500/750= 「2/3」となる。
番組の問題を聞き逃した可能性もあるので、「2/3」が正解となる表現が含まれていたのかも知れないが、別にこの記事で番組の解答を否定したい訳ではなく、問題文を少しアレンジするだけで、正解が全く別物に変化するという点が面白い、ということを単に伝えたかった。
この手の問題に興味がある人は「ベイズの定理」とか、「モンティ・ホール問題」を調べてみるといい。
